På hvor mange måter kan du finne lengden av siden som er merket med x?
Et hint er at trekanten er rettvinklet, siden \(6^2+8^2 =100\), som er lik \(10^2\). Nedenfor følger noen metoder fra pensum i vgs. Noen er i overkant kompliserte, men det er en fin øvelse å prøve å finne så mange som mulig.
Areal
Arealet må være likt for alle kombinasjoner av grunnlinje og høyde. Med 8 som grunnlinje og 6 som høyde, blir arealet lik \(\frac{6\cdot 8}{2} = 24\).
\begin{align*}
\frac{10 \cdot x}{2} &= 24\\
x &= 4.8
\end{align*}
Herons formel
Uten å kreve at trekanten er rettvinklet, kan en beregne arealet ut fra Herons formel (ikke pensum i vgs).
\[s = \frac{6+8+10}{2} = 12\]
\[A = \sqrt{s(s-6)(s-8)(s-10)} = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} = 24\]
Formlikhet
Trekantene som har \(x\) som katet er formlike med den store trekanten, siden de alle har en rett vinkel og en felles vinkel. Forholdet mellom samsvarende sider må dermed være likt. For eksempel må
\begin{align*}
\frac{x}{8} &= \frac{6}{10}\\
x &= 4.8
\end{align*}
Trigonometri
Vinkelen mellom det lengste katetet og hypotenusen er \(\tan^{-1}\left(\frac{6}{8}\right) \approx 36,9^\circ\).
En kan se på \(x\) som motstående katet, i en trekant hvor hypotenusen har lengde 8.
\begin{align*}
\sin 36,9^\circ &= \frac{x}{8}\\
x &= 8\cdot \sin 36,9^\circ \\
x &\approx 4.8
\end{align*}
Pythagoras
Mange elever prøver å starte slik, men dette er litt i utkanten av 1P-pensum.
Her er det ikke et krav at den store trekanten er rettvinklet. Pythagoras må gjelde for de to rettvinklede trekantene som siden \(x\) deler den store trekanten i.
\begin{align*}
& \text{I} & x^2+y^2 &= 6^2\\
& \text{I} & x^2 &= 36-y^2\\
&\text{II} & (10-y)^2+x^2 &= 8^2\\
&\text{II} & y^2-20y+100+x^2 &= 64\\
&\text{I i II} & y^2-20y+100+(36-y^2) &= 64\\
&& -20y+136 &= 64\\
&& y &= \frac{-72}{-20}\\
&& y &= 3,6 \\
&\text{I} & x &= \sqrt{36-3,6^2}\\
&& x &= 4.8
\end{align*}
Vektorregning
Lengde fra punkt til linje
Denne metoden virker kanskje merkelig, men av og til kan det være nødvendig å legge til litt struktur i en oppgave for å se den på en annen måte.
Legg trekanten i et koordinatsystem med katetene parallelle med aksene. For eksempel blir trekanten avgrenset av \((0,0)\), \((8,0)\) og \((8,6)\). Da er oppgaven den samme som å finne avstanden fra \((8,0)\) til linjen mellom \((0,0)\) og \((8,6)\).
Den linjen kan skrives på vektorform som \([8t,6t]\). Vektoren \(x\) blir \([8-8t, 0-6t]\).
De står vinkelrett på hverandre når
\begin{align*}
[8t,6t] \cdot [8-8t,-6t] &= 0\\
64t-64t^2-36t^2 &= 0\\
-100t^2+64t &= 0\\
t(t-0,64)&= 0\\
t &= 0,64 \vee t=0
\end{align*}
Lengden av \(x\) når \(t=0,64\) blir
\(\sqrt{(8-8\cdot 0,64)^2+(-6\cdot 0,64)^2} \approx \sqrt{8,3+14,7} \approx \sqrt{23,0} \approx 4,8\)
Avstand ved kryssprodukt
Avstanden fra punktet \(P\) til en linje gjennom \(Q\) med retningsvektor \(\vec{v}\) blir \(\frac{|\vec{QP}\times \vec{v}|}{|\vec{v}|}\).
Velg for eksempel de to lengste sidene som vektorer, og origo i hjørnet mellom de. \(P\) blir origo og \(Q=(-8,0,0)\)
\[\frac{|\vec{QP}\times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \frac{|[8,0,0] \times [8,6,0]|}{|[8,6,0]|} = \frac{|[0,0,48]|}{|[8,6,0]|} = \frac{48}{10} = 4,8 \]
Areal ved kryssprodukt (determinant)
Velg for eksempel de to lengste sidene som vektorer, og origo i hjørnet mellom de. Arealet av parallellogrammet vektorene spenner ut, blir \[|[8,0,0] \times [8,6,0]| = |[0,0,48]| = 48.\] Arealet av trekanten blir dermed \(\frac{48}{2} = 24\).